Complex System & Dynamic System

System

Definition

• set of distinguishable things that interact & work together to achieve a common goal

• in result have features that none of its component has

• ex. body & life

• 一组可区分的事物，它们相互作用并协同工作以实现共同目标

• in result 具有其组件所不具备的特征

• 例如。 身体与生活

What makes a system complex

Definition

• Components 多；
• interaction 非线性；
• 可 self-organization；
• 整体不可归为完全 regular 亦非完全 random；
• 允许 emergent behaviour。

Few parts

simple rules, simple behaviour

• Two-body problem：仅两颗天体 & Newtonian gravity，轨道可用 analytic solution 求得 ⇒ 行为 regular。

simple rules, complex behaviour

• Three-body problem：多一个天体即变为 chaotic，无封闭式解析解。
  • 图 6 示范行星在双星系统中的混沌轨迹。
  • 用以说明：small change in number of components → qualitative change in behaviour。
• Low-dimensional chaos

Many parts

simple rules, simple behaviour

• Crystals：大量分子+简单相互作用 ⇒ emergence 为 highly ordered lattice。
• Gases：大量分子+同样简单作用 ⇒ emergence 为 statistically homogeneous randomness。
• 说明“many parts ≠ 必然复杂”，还取决于规则 & 结果形态。

Simple rules, complex behaviour

以 flocking behaviour（鸟群）展示典型 complex systems：

1. component：bird（本身简单）；
2. interaction rule：Separation / Alignment / Cohesion；
3. emergence：宏观 flock 形态，局部规则难以预知整体。

complicated rules, complex behaviour

• biological development / termite mound / brain / immune system / human society。
• 特征：异构规则，专业化，等级制度;宏观行为仍可再现且稳健。

complicated rules, deterministic behaviour

• Classical engineering systems（飞机、芯片）同样 parts 多、规则复杂，但由 global design 保证可预测 ⇒ 不算 complex system（缺乏 “surprise”）。

Many parts, complicated rules, centralised behaviour

• Orchestra / military：多部件但由 conductor / commander 统一控制。因 centralised control，不在 complex-systems 研究范畴。

Properties of complex systems

Emergence

Note

整体属性 > parts 属性之和；不可轻易自底向上推断

• The system has properties that the individual parts do not 系统具有各个部分所不具备的属性
• These properties cannot be easily inferred or predicted
  这些特性不容易推断或预测
• Different properties can emerge from the same parts, depending upon context or arrangement 相同的部分可以产生不同的属性，具体取决于上下文或排列

Self-organization

Note

order 无外部强制而生于 internal interaction

• Order increases without external intervention
• Typically as a result of interactions between parts

Decentralised

Note

无 single controller；information distributed；parallelism 天然。

There is not a single controller or ‘leader’

• distribution: each part carries a subset of global information 每个部分都携带一个全局信息的子集
• bounded knowledge: no part has a full view of the whole
  有限知识：没有部分具有整体的完整视图
• parallelism: parts can act simultaneously 各部分可以同时作用

Feedback

• Positive feedback 放大扰动 → 可能导致 instability or phase transition；
• Negative feedback 抑制扰动 → 提升 stability

Modelling complex systems?

• Model 定义：为预测与分析而对真实系统进行 simplified representation。
• 原因：真实实验可能 expensive / time-consuming / unethical / impossible；通过 model 可 “build to understand”。

Types of model

Mathematical model

• 用 macro-equations 描述，如 Lotka–Volterra predator-prey。
  • 若可求 analytic solution（如 exponential GDP growth），直接解析。
  • 若无解析解 → numerical analysis（离散化空间/时间）。
  • 用宏观方程式描述全局状态和行为
  • 通过算法（逐步）求解以发现未来的轨迹

Computational Model

• 当系统 heterogeneity / adaptive topology 强，宏观方程难立 ⇒ 需 computational model
  • 系统中的畸形 - 位于空间中的不规则性
  • 在复杂网络中连接 - 差异化/专业化为各种类型的
  • 动态自适应系统
  • 响应环境的交互拓扑变化

agent-based model (ABM)

• 将 component 映射为 agent 持有 local state & rule；
• 全局行为由 micro-interaction + update rule 产生。

Steps in modelling a complex system

• 明确 research question；
• 描述 structure（components & interactions）；
• 指定每个 component 的 state space；
• 规定 dynamics / update rule；
• verification / validation / evaluation（简单性、正确性、鲁棒性）；
• 设计实验，运行模拟回答问题。

Dynamic System

What is a Dynamical System

• 明确三要素：
  • State space：系统可能状态集合；
  • Time ttt：可离散或连续；
  • Update rule：确定当前状态 xtx_txt​ 与过去状态关系的 deterministic 函数；
• 还需一个 initial condition x0x_0x0​。强调“历史决定现在”这一 determinism。

Functions and Iteration

• 用简单函数 $f(x)=3x$ 说明 function 的输入输出。
• 介绍 iteration：将前次输出作为下次输入形成序列 $x0,x1,x2,\dots \hspace{0.17em}\{x_0,x_1,x_2,\dots \}x0,x1,x2,\dots$。该序列即系统随时间的 trajectory / orbit。

Population Growth

To keep things simple, let’s make the following assumptions:
给出 4 条假设（仅雌狐、一次繁殖等）

• the initial population contained 2 female red foxes
• a female red fox reproduces in its first year of life
• a female red fox only reproduces once in it’s life
• half of newborn kits are female Therefore, the number of female red foxes will double each year:

$$x_{t+1}=2x_t$$

where $xt$ is the number of female red foxes alive in year $t$

Exponential Curve

![[Pasted image 20250607161457.png]]

$$x_t=x_0{r}^t$$

• 直接外推会得到荒谬的 $3.37\times {10}^{66}$ 只狐狸。

• 引导思考 growth rate r 取 1 或 < 1 时的含义：

  • $r=1$：replacement fertility，种群稳定；
  • $r<1$：衰退

• resource limitation（食物/空间）必须纳入模型。提出 “增长快 → resources abundant；增长慢 → scarce” 的现实假设

• 从连续 logistic growth 式 $$P_{t+1}=rP_t\bigl(1-\tfrac{P_t}{A}\bigr)$$ 出发，归一化得

  $$x_{t+1}=r{x}_t(1-x_t)$$

• 这是经典 logistic map，state $x_t\in [0,1]$。 ![[Pasted image 20250607162052.png]]

• 分解为 positive feedback $r{x}_t$与 negative feedback $(1-x_t)$。前者促增，后者抑制。

Evaluation

Case $r=0.9$

![[Pasted image 20250607162507.png]]

• 所有 $r\in (0,1)$ 时，0 为 stable fixed point；种群必灭绝

Case $r=1.5$

![[Pasted image 20250607162606.png]]

• 出现新的稳定 fixed point $x^{\text{*}}\approx 0.5$，0 变成 unstable fixed point。系统无论初值趋向 0.5

Case $r=3.2-3.8$

![[Pasted image 20250607163027.png]]

• 继续 period-doubling 至 limit-4 cycle。
• 再翻倍为 limit-8 cycle。周期不断裂变预示 chaos 临近。
• 出现 period-3 window（Sharkovskii 定理：period-3 implies chaos）。吸引子需若干步才能显现。

Case $r=4.0$

• 出现 period-3 window（Sharkovskii 定理：period-3 implies chaos）。吸引子需若干步才能显现。

四条件：

Chaos

Definition

1. Deterministic update rule； 确定性更新规则
2. Aperiodicity； 非周期性
3. Bounded trajectory； 有界轨迹
4. Sensitivity to initial conditions 对初始条件敏感

Butterfly Effect

![[Pasted image 20250607163405.png]]

zoom out 显示 r∈[2.4,4.0] 全貌：

• Self-similar (fractal) 自相似（分形）结构；
• windows of periodicity 周期性窗口嵌在 chaos 区；
• Feigenbaum constant Feigenbaum 常数隐含于 period-doubling 间距。

Lotka-Volterra Mode

• Lotka–Volterra model 于 1925–1926 由 Alfred Lotka 与 Vito Volterra 各自独立提出，灵感来自 logistic equation。

设 predator = red fox, prey = rabbit，核心假设：

1. 兔有充足食物，可自我维持；
2. 若无狐狸，兔以速率 α 呈指数增长；
3. 狐只捕食兔；
4. 若无兔，狐以速率 γ 指数衰减；
5. 环境静态，参数常数

![[Pasted image 20250607165455.png]]

• RRR = rabbit 数量，FFF = fox 数量；
• 参数意义：α (兔增长率)、β (捕食率)、δ (捕食转化率)、γ (狐狸死亡/迁徙率)。

Solving ODEs

Euler Method

离散化思想：

$$y_{n+1}=y_n+\mathrm{\Delta }tf(t_n,y_n)$$

时间步长 Δt 越小越精确但成本增高

Mid-point Improvement

使用区间中点斜率提高精度：

![[Pasted image 20250607172229.png]] 将 F 对 R 作图得到闭合轨迹 → 表明存在 limit cycle。轨迹逆时针：

• 兔多→狐增；
• 狐多→兔减；
• 兔减→狐减；
• 狐减→兔再增，循环往复

设 $\frac{dR}{dt}=\frac{dF}{dt}=0$，得两组 equilibrium：

1. $(R=0,F=0)$ — 双灭绝；
2. $(R=\gamma /\delta ,F=\alpha /\beta )$ — 共存。
   稳定性分析： 第 1 点为 saddle（不稳定）； 第 2 点为 neutrally stable，周围存在无穷多 periodic orbits 周期性轨道

Structural Stability Concern

第一个平衡是所谓的“鞍点”（与山脉中的鞍座相比）。鞍点上的系统将保留在那里。扰动系统“向上”y 轴（增加狐狸的数量，同时将兔子的数量保持为零）将导致系统返回到鞍点（那些狐狸会在没有食物的情况下死亡）。沿 x 轴“向右”扰动系统（增加兔子的数量，同时将狐狸的数量保持为零）将导致系统继续向右移动（到无穷大 - 兔子将在不受控制的情况下繁殖）。同时沿两个轴扰动系统（同时添加 foxes 和 rabbits）将导致系统移动到新的极限循环（周期性）吸引子。这有多现实？周期性轨道的振幅取决于初始条件！在现实世界中，环境不断变化，因此系统在相平面中的位置将不断从一个轨道切换到另一个轨道。这是不现实的——真正的周期往往具有“特征”振幅。我们想要一个模型，其中系统行为稳定到单个稳定的极限循环。这种类型的系统据说在结构上是稳定的。

• 轨道振幅依赖 initial condition，模型 structurally unstable；
• 现实系统往往收敛到唯一 stable limit cycle，需改进。

Discreteness Issue

![[Pasted image 20250607181959.png]] 相位图中出现 <1 的分数个体 → 生物体实际为 discrete entity，低于 1 应视为灭绝，提示 Lotka–Volterra 连续近似的局限。

Model Extensions

在原方程加 logistic term：

$$\frac{dR}{dt}=\alpha R-\beta RF-a{R}^2,\frac{dF}{dt}=\delta RF-\gamma F-b{F}^2$$

引入 carrying capacity 使单一稳定 limit cycle 出现，更贴近观测。

Numerical Demo

![[Pasted image 20250607182331.png]] 展示加入竞争后 time-series 与 phase plane 曲线，振幅收敛。 右边的图是limited cycle，是稳定的，有吸引力的，有中心点，中心点是不动点。 还提出了其他的模型改进方案，以提高捕捉观察到的现象的能力

Multi-species Generalisation

• 两种写法：α-matrix formulation 或 interaction matrix A；
• 三物种情形给定矩阵 A 与 parameter α，可在 α≥1.5 时产生 chaotic behaviour。

Summary

• dynamic behaviours：stable/unstable fixed points、limit cycles；
• basin of attraction 决定随初值落入哪个吸引子；
• Lotka-Volterra 提供 predator-prey 动力学启示，但需考虑 intraspecific competition、离散性、环境变动等因素方能贴合现实

SIR

• 同质化人口：每个人都是一样的；
• 同质化混合方式：每个人都有相同的接触机会。

Stochastic model

更多的计算->适用于小群体 提供关于结果分布的信息 随着我们人口数量的增加，偶然性的影响也会减少。 如果我们的人口足够大，也许我们可以完全忽略随机性？随机性何时重要？

• Generates distribution of models 生成模型分布
• incorporate the effects of chance 结合偶然性的影响
• Results are different each time we run. -> random seed is different each time. 每次运行的结果都不同->随机种子每次都不同。
• Estimate the most average future, but averaging the random results 估计最平均的未来，但对随机结果进行平均

Deterministic model

运行效率更高 - 可以探索更多参数 分析可以提供更普遍的简介 只有在某些条件下才适用（更大的人群，更多的感染病人）

• Generates unique outcomes 产生独特的结果
• Based on the parameter and initial conditions 基于参数和初始条件
• Infection rate R0 感染率 R0
• Chance of influence in each generation 每一代的影响力几率
  • R0>1 -> outbreak 爆发
  • R0<1 -> die out 消亡

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